Esercizi scelti · Modulo G

Traccia il grafico probabile di $$y=e^{\frac{x^2}{x-2}}$$ Trova: dominio, simmetrie, intersezioni con gli assi, segno, limiti agli estremi del dominio e asintoti (controlla anche se c'è un asintoto obliquo). Dì che tipo di discontinuità c'è nel punto escluso dal dominio. Poi disegna.

Traccia il grafico probabile di $$y=x\sqrt{\frac{x+1}{x-1}}$$ Trova: dominio, simmetrie, intersezioni con gli assi, segno, limiti agli estremi del dominio, asintoti (verticali, orizzontali, obliqui: guarda $x\to-\infty$ e $x\to+\infty$ separatamente). Poi disegna.

Traccia il grafico probabile di $$y=\ln\left|\frac{3x}{2x^2-2}\right|$$ Trova: dominio, simmetrie, intersezioni con gli assi, segno, limiti agli estremi del dominio, asintoti (verticali, orizzontali, obliqui). Poi disegna.

Trova $a$ e $b$ in modo che la funzione $$f(x)=\frac{\sqrt{ax^2+1}}{x+b}$$ abbia come asintoto verticale la retta $x=-2$ e, per $x\to-\infty$, come asintoto orizzontale la retta $y=-3$.

Data la funzione $$f(x)=\frac{ax^2+bx+1}{3x+c}$$ trova $a$, $b$, $c$ in modo che abbia come asintoto obliquo la retta $y=2x-1$ e come asintoto verticale la retta $x=3$.

Considera $$f(x)=\frac{(a-1)x^2+1}{ax^2+4x+8}$$ con $a$ numero reale. Trova per quali valori di $a$:
a) il grafico non ha asintoti verticali;
b) il grafico ha un asintoto orizzontale compreso tra le rette $y=-1$ e $y=2$;
c) il grafico ha un asintoto obliquo, e scrivine l'equazione.
d) Traccia il grafico probabile per il valore di $a$ trovato in c).

Trova per quali valori del parametro $k$ la funzione $$f(x)=\ln\left|\frac{x^2-k-1}{x^2-2kx+3}\right|$$ non ha asintoti verticali.

Data la funzione $$f(x)=\begin{cases}\dfrac{e^{kx}-1}{2x} & x\lt 0\\[3mm] \dfrac{hx^2+3}{4x^2-1} & x\ge0\end{cases}$$ trova $k$ e $h$ in modo che $f$ sia continua in $x=0$ e che la retta $y=2$ sia un suo asintoto orizzontale destro. Con quei valori, trova tutti gli altri asintoti.

Le funzioni $f$ e $g$, definite su tutti i numeri reali, hanno i grafici qui sotto (un quadretto = 1). Per $x\gt 2$ il grafico di $f$ è un arco di parabola con l'asse verticale e il vertice in $(3,1)$; tutti gli altri pezzi sono segmenti o semirette. Pallino pieno: il punto fa parte del grafico. Pallino vuoto: non ne fa parte. a) Scrivi l'espressione di $f$ (a pezzi) e classifica i suoi punti di discontinuità.
b) Fai lo stesso per $g$.
c) Dì se questi limiti esistono, spiegando perché, e se esistono calcolali: i) $\lim\limits_{x\to-1}[f(x)+g(x)]$;  ii) $\lim\limits_{x\to0}[f(x)+g(x)]$;  iii) $\lim\limits_{x\to2}[f(x)\cdot g(x)]$;  iv) $\lim\limits_{x\to2^+}\frac{f(x+1)}{g(x)}$;  v) $\lim\limits_{x\to-1}f(g(x))$;  vi) $\lim\limits_{x\to-1}g(f(x))$.
Poi considera $$f^*(x)=\begin{cases}3 & x\lt -1\\ 2x+a & -1\le x\le2\\ bx^2+5 & x\gt 2\end{cases}\qquad g^*(x)=\begin{cases}2x & x\lt -1\\ p & x=-1\\ x+q & -1\lt x\le0\\ x^2+r & x\gt 0\end{cases}$$ d) Trova, se esistono, $a$ e $b$ per cui $f(x)+f^*(x)$ è continua in tutti i numeri reali.
e) Trova, se esistono, $p$, $q$, $r$ per cui $g(x)+g^*(x)$ è continua in tutti i numeri reali.

Dimostra con il teorema degli zeri che l'equazione $\sqrt x=1-x^2$ ha una soluzione nell'intervallo $[0,1]$. Poi trova la soluzione con due cifre decimali esatte con il metodo di bisezione (puoi controllare con Wolfram Alpha).

È data la funzione $f(x)=e^x-\sin x-3x$.
a) Ha asintoti obliqui? Rispondi studiando $\lim\frac{f(x)}{x}$ e, se serve, $\lim\,[f(x)-mx]$, sia per $x\to+\infty$ sia per $x\to-\infty$.
b) Dimostra che esiste almeno un numero $a$ tra $0$ e $1$ per cui $f(a)=0$.

A quale di queste funzioni si può applicare il teorema di Weierstrass nell'intervallo $[-2,2]$? Spiega perché, e per quella funzione trova il massimo e il minimo nell'intervallo.
a) $y=\frac1{x+2}$   b) $y=\frac1{e^x-2}$   c) $y=\frac1{\sin x+2}$   d) $y=\frac1{\ln x-2}$

Disegna il grafico e scrivi l'espressione di una funzione $f$ che:
• è definita nell'intervallo $[-2,3]$;
• ha come immagine (cioè l'insieme dei valori che prende) l'intervallo $[-2,3]$;
• in $x=0$ è continua da destra, ma non è continua.
Poi controlla che, anche se non è continua, la tua funzione prende tutti i valori tra il minimo e il massimo, come dice il teorema dei valori intermedi.