Esercizi scelti · Modulo H
23 esercizi in 5 gruppi, uno per metodo. In cima a ogni gruppo c'è la classificazione: i tipi di problema e cosa fare in ognuno. I testi sono scritti con parole mie, con i dati del libro.
Come si usa
- Leggi la classificazione del gruppo.
- Fai l'esercizio su carta. Se ti blocchi, apri «Teoria per farlo».
- Se ancora non va, scrivi a Claude il numero dell'esercizio e il punto dove sei.
- Alla fine apri «Risultato» e spunta «Fatto».
1 · Punti di non derivabilità
Dove la funzione non ha una tangente normale, e di che tipo di punto si tratta.
La classificazione
Prima di tutto: se in $x_0$ la funzione non è continua, lì non è derivabile: classifichi la discontinuità come nel G (salto, eliminabile, seconda specie). Un punto che non sta nel dominio, ma a cui la funzione si avvicina, si chiama punto singolare.
Se è continua, calcoli il limite della derivata $f'$ da sinistra e da destra di $x_0$:
| Cosa trovi | Che punto è | Esempio |
|---|---|---|
| lo stesso numero dai due lati | derivabile | $x^2$ in $0$ |
| due numeri diversi (o un numero e un infinito) | punto angoloso | $|x|$ in $0$: $-1$ e $1$ |
| infiniti di segno opposto | cuspide | $\sqrt[3]{x^2}$ in $0$: $-\infty$ e $+\infty$ |
| infiniti dello stesso segno | flesso a tangente verticale | $\sqrt[3]{x}$ in $0$: $+\infty$ e $+\infty$ |
| sul bordo del dominio (ti avvicini da un lato solo), limite infinito | punto a tangente verticale | $\sqrt{x}$ in $0$ |
Quando i limiti di $f'$ non bastano: se il limite di $f'$ non esiste (per esempio $x^2\cos\frac1x$, il tuo 490), calcoli la derivata con la definizione, $\lim\limits_{h\to0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$, spesso con il teorema dei carabinieri.
Scorciatoie (poi controlla sempre con i limiti): in $|g(x)|$, dove $g$ si annulla con $g'(x_0)\ne0$ (zero semplice) c'è uno spigolo; se anche $g'(x_0)=0$ (zero doppio, triplo…) niente spigolo, è derivabile. In $\sqrt[3]{g(x)}$: zero semplice → flesso a tangente verticale; zero doppio → cuspide; zero triplo o più → derivabile (per esempio $\sqrt[3]{x^3}=x$). Con il modulo dentro, $\sqrt[3]{|x|}$, viene una cuspide.
1Libro H p. 333 n. 481 · ●●○ · dalla tua lista per casa
Trova i punti in cui la funzione $$y=\sqrt[3]{x^3-3x^2}$$ non è derivabile e dì di che tipo sono.
Cosa ripassi:
- derivata di una radice cubica
- cuspide e flesso a tangente verticale
- scomporre: $x^3-3x^2=x^2(x-3)$
Teoria per farlo
La derivata di $\sqrt[3]{g}$ è $\frac{g'}{3\sqrt[3]{g^2}}$: non esiste dove $g=0$, qui in $0$ e in $3$.
In ognuno dei due punti calcola il limite di $f'$ da sinistra e da destra e guarda la tabella in cima.
Per i segni aiuta semplificare: $f'(x)=\frac{x-2}{\sqrt[3]{x}\;\sqrt[3]{(x-3)^2}}$.
In ognuno dei due punti calcola il limite di $f'$ da sinistra e da destra e guarda la tabella in cima.
Per i segni aiuta semplificare: $f'(x)=\frac{x-2}{\sqrt[3]{x}\;\sqrt[3]{(x-3)^2}}$.
Risultato
$x=0$ cuspide (da sinistra $f'\to+\infty$, da destra $f'\to-\infty$). $x=3$ flesso a tangente verticale ($f'\to+\infty$ da tutti e due i lati).
2Libro H p. 333 n. 484 · ●●○ · dalla tua lista per casa
Trova i punti in cui la funzione $$y=\left|x^3+2x^2-4x-8\right|$$ non è derivabile e dì di che tipo sono.
Cosa ripassi:
- scomposizione con il raccoglimento parziale
- valore assoluto: conta dove il dentro cambia segno
- zero doppio: il modulo non fa spigoli
Teoria per farlo
$|g(x)|$ può non essere derivabile solo dove $g(x)=0$. Scomponi: $x^3+2x^2-4x-8=(x+2)^2(x-2)$.
Dove $g$ cambia segno (zero semplice) c'è un punto angoloso: le due derivate sono $-g'(x_0)$ e $g'(x_0)$.
Dove lo zero è doppio $g$ non cambia segno: lì il modulo non fa spigoli e la funzione è derivabile.
Dove $g$ cambia segno (zero semplice) c'è un punto angoloso: le due derivate sono $-g'(x_0)$ e $g'(x_0)$.
Dove lo zero è doppio $g$ non cambia segno: lì il modulo non fa spigoli e la funzione è derivabile.
Risultato
Solo $x=2$, punto angoloso (derivate $-16$ e $16$). In $x=-2$ è derivabile: lo zero è doppio.
3Libro H p. 333 n. 487 · ●●○
Trova i punti in cui la funzione $$y=\sqrt{\ln(1+x)}$$ non è derivabile e dì di che tipo sono.
Cosa ripassi:
- dominio con radice e logaritmo insieme
- punto sul bordo del dominio
- punto a tangente verticale
Teoria per farlo
Dominio: $\ln(1+x)\ge0$, cioè $x\ge0$.
La derivata è $f'(x)=\frac{1}{2(1+x)\sqrt{\ln(1+x)}}$: non esiste dove la radice vale $0$, cioè in $x=0$.
$x=0$ è il bordo del dominio: ti avvicini solo da destra. Se lì il limite di $f'$ è infinito, è un punto a tangente verticale.
La derivata è $f'(x)=\frac{1}{2(1+x)\sqrt{\ln(1+x)}}$: non esiste dove la radice vale $0$, cioè in $x=0$.
$x=0$ è il bordo del dominio: ti avvicini solo da destra. Se lì il limite di $f'$ è infinito, è un punto a tangente verticale.
Risultato
$x=0$: punto a tangente verticale ($f'\to+\infty$ per $x\to0^+$).
4Libro H p. 351 n. 717 · ●●○
Studia i punti singolari e i punti di non derivabilità della funzione $$y=x\,|\ln x|$$
Cosa ripassi:
- punto escluso dal dominio: punto singolare
- $x\ln x\to0$ per $x\to0^+$
- modulo: dove il dentro cambia segno
Teoria per farlo
Dominio $x\gt 0$. Il punto singolare è $x=0$: fai il limite per $x\to0^+$. Se è un numero, la singolarità è eliminabile.
Ricorda: $x\ln x\to0$, perché il logaritmo va all'infinito più piano di come $x$ va a zero.
Poi il modulo: $\ln x$ cambia segno in $x=1$. Le derivate dei due pezzi sono $-\ln x-1$ (per $x\lt 1$) e $\ln x+1$ (per $x\gt 1$): calcolale in $1$.
Ricorda: $x\ln x\to0$, perché il logaritmo va all'infinito più piano di come $x$ va a zero.
Poi il modulo: $\ln x$ cambia segno in $x=1$. Le derivate dei due pezzi sono $-\ln x-1$ (per $x\lt 1$) e $\ln x+1$ (per $x\gt 1$): calcolale in $1$.
Risultato
$x=0$ singolarità eliminabile (il limite vale $0$; se prolunghi con $f(0)=0$, lì $f'\to+\infty$: tangente verticale). $x=1$ punto angoloso (derivate $-1$ e $1$).
5Libro H p. 351 n. 724 · ●●○
Studia i punti singolari e i punti di non derivabilità della funzione
$$f(x)=\begin{cases}|x+2| & x\le0\\ e^x+x+1 & 0\lt x\lt 2\\ \sqrt[3]{|x-3|} & x\ge2\end{cases}$$
Cosa ripassi:
- prima la continuità nei punti dove cambia formula
- se non è continua, non è derivabile
- $\sqrt[3]{|x-3|}$: il modulo dentro la radice cubica
Teoria per farlo
Fai in quest'ordine:
1) Nei punti dove cambia formula ($0$ e $2$) controlla la continuità: se i limiti da sinistra e da destra sono diversi, è un salto e lì non è derivabile.
2) Dove è continua, confronta le derivate da sinistra e da destra.
3) Poi guarda dentro ogni pezzo: $|x+2|$ fa uno spigolo in $-2$; $\sqrt[3]{|x-3|}$ in $3$ ha la derivata che va a $-\infty$ da sinistra e a $+\infty$ da destra.
1) Nei punti dove cambia formula ($0$ e $2$) controlla la continuità: se i limiti da sinistra e da destra sono diversi, è un salto e lì non è derivabile.
2) Dove è continua, confronta le derivate da sinistra e da destra.
3) Poi guarda dentro ogni pezzo: $|x+2|$ fa uno spigolo in $-2$; $\sqrt[3]{|x-3|}$ in $3$ ha la derivata che va a $-\infty$ da sinistra e a $+\infty$ da destra.
Risultato
$x=-2$ e $x=0$ punti angolosi. $x=2$ punto di salto (da sinistra $e^2+3$, da destra $1$). $x=3$ cuspide.
2 · Derivabilità con i parametri
Funzioni a pezzi con delle lettere: continuità prima, poi derivate uguali.
La classificazione
La funzione cambia formula in un punto $x_0$ (il punto di raccordo) e ci sono delle lettere da trovare.
| La domanda | Cosa imposti in $x_0$ |
|---|---|
| «continua» | limite da sinistra = limite da destra = $f(x_0)$ |
| «derivabile» | continua e derivata del pezzo di sinistra = derivata del pezzo di destra |
| «derivabile due volte» | le due di sopra e derivate seconde uguali |
| «dimostra che non esiste» | risolvi una condizione e fai vedere che le soluzioni non rispettano l'altra |
Attenzione: se non è continua non è derivabile, anche quando le due derivate vengono uguali. La continuità si controlla sempre per prima.
Esempio: $f(x)=x^2+a$ per $x\lt 1$, $f(x)=bx$ per $x\ge1$. Continuità in $1$: $1+a=b$. Derivate in $1$: $2=b$. Quindi $b=2$, $a=1$.
6Libro H p. 334 n. 491 · ●●○ · dalla tua lista per casa
Data la funzione $$f(x)=\begin{cases}\ln x+k-3 & x\ge1\\ 2x^2-kx+k^2-8 & x\lt 1\end{cases}$$
a) trova $k$ in modo che $f$ sia continua in tutti i numeri reali;
b) per ogni valore di $k$ trovato, dì se $f$ è derivabile in tutti i numeri reali e, se non lo è, che tipo di punto di non derivabilità c'è.
b) per ogni valore di $k$ trovato, dì se $f$ è derivabile in tutti i numeri reali e, se non lo è, che tipo di punto di non derivabilità c'è.
Cosa ripassi:
- continuità nel punto di raccordo
- derivata a sinistra e a destra
- equazione di secondo grado con il parametro
Teoria per farlo
a) In $x=1$: $f(1)=k-3$ deve essere uguale al limite da sinistra, $2-k+k^2-8$. Viene un'equazione di secondo grado in $k$.
b) Per ogni $k$ trovato calcola le derivate dei due pezzi in $x=1$: $(\ln x)'=\frac1x$ dà $1$; $(2x^2-kx)'=4x-k$ dà $4-k$.
Se sono uguali è derivabile; se sono due numeri diversi è un punto angoloso.
b) Per ogni $k$ trovato calcola le derivate dei due pezzi in $x=1$: $(\ln x)'=\frac1x$ dà $1$; $(2x^2-kx)'=4x-k$ dà $4-k$.
Se sono uguali è derivabile; se sono due numeri diversi è un punto angoloso.
Risultato
a) $k=-1$ oppure $k=3$. b) Con $k=3$ è derivabile in tutti i reali. Con $k=-1$ in $x=1$ c'è un punto angoloso (derivate $5$ e $1$).
7Libro H p. 335 n. 508 · ●●●
Dimostra che non esiste nessun numero reale $a$ per cui la funzione
$$f(x)=\begin{cases}(x-3)e^x & x\lt a\\ \frac12x^2-2x & x\ge a\end{cases}$$ è derivabile in tutti i numeri reali.
Cosa ripassi:
- derivabile vuol dire anche continua: servono tutte e due le condizioni
- derivata di un prodotto
- quando il punto di raccordo è proprio la lettera
Teoria per farlo
Qui la lettera è il punto dove cambia formula. Scrivi le due condizioni in $x=a$:
continuità: $(a-3)e^a=\frac12a^2-2a$; derivate uguali: $(a-2)e^a=a-2$ (la derivata di $(x-3)e^x$ è $(x-2)e^x$).
Risolvi prima la seconda (raccogli $a-2$): trovi gli unici $a$ possibili. Poi controlla se rispettano anche la prima. Se nessuno la rispetta, hai dimostrato che non esiste.
continuità: $(a-3)e^a=\frac12a^2-2a$; derivate uguali: $(a-2)e^a=a-2$ (la derivata di $(x-3)e^x$ è $(x-2)e^x$).
Risolvi prima la seconda (raccogli $a-2$): trovi gli unici $a$ possibili. Poi controlla se rispettano anche la prima. Se nessuno la rispetta, hai dimostrato che non esiste.
Risultato
Dalla seconda condizione $a=2$ oppure $a=0$. Nessuno dei due rende la funzione continua ($a=2$: $-e^2\ne-2$; $a=0$: $-3\ne0$). Quindi nessun $a$.
8Libro H p. 335 n. 509 · ●●●
Trova $a$, $b$, $c$ in modo che la funzione
$$f(x)=\begin{cases}ae^x+b\sin x+c & x\lt 0\\ x^2+2x & x\ge0\end{cases}$$ sia derivabile due volte in tutti i numeri reali.
Cosa ripassi:
- derivata seconda
- tre condizioni per tre lettere
- $\sin0=0$, $\cos0=1$
Teoria per farlo
«Derivabile due volte» in $x=0$ vuol dire tre condizioni: stessi valori, stesse derivate prime, stesse derivate seconde.
Pezzo di sinistra: $f'=ae^x+b\cos x$, $f''=ae^x-b\sin x$. Pezzo di destra: $f'=2x+2$, $f''=2$.
Metti $x=0$ in tutto: tre equazioni, tre lettere.
Pezzo di sinistra: $f'=ae^x+b\cos x$, $f''=ae^x-b\sin x$. Pezzo di destra: $f'=2x+2$, $f''=2$.
Metti $x=0$ in tutto: tre equazioni, tre lettere.
Risultato
$a=2$, $b=0$, $c=-2$.
3 · Tangenti
Prima riconosci il tipo dalla frase del testo, poi sai cosa impostare.
La classificazione
Formule che servono sempre:
tangente in $x_0$: $y=f(x_0)+f'(x_0)\,(x-x_0)$ · normale: pendenza $-\frac1{f'(x_0)}$ (se $f'(x_0)=0$ la normale è verticale: $x=x_0$) · rette parallele: stessa pendenza ·
perpendicolari: $m_1m_2=-1$ · angolo con l'asse $x$: $m=\tan\alpha$ · angolo tra due rette: $\tan\theta=\left|\frac{m_1-m_2}{1+m_1m_2}\right|$
1 · Tangente (o normale) in un punto dato
Lo riconosci da: «tangente nel punto di ascissa $x_0$», «nel punto in cui il grafico taglia l'asse $x$»
Cosa imposti: calcoli $f(x_0)$ e $f'(x_0)$ e usi la formula
Esempio: $f(x)=x^2$, $x_0=1$: $f(1)=1$, $f'(1)=2$, tangente $y=1+2(x-1)=2x-1$.
Lo alleni nel n. 16 d, 17 b
2 · Tangente con una pendenza data
Lo riconosci da: «parallela alla retta…», «perpendicolare a…», «forma un angolo $\alpha$ con l'asse $x$», «orizzontale»
Cosa imposti: $f'(x)=m$ (parallela), $f'(x)=-\frac1m$ (perpendicolare), $f'(x)=\tan\alpha$, $f'(x)=0$ (orizzontale). Poi controlli che la $x$ trovata stia nel dominio
Esempio: $f(x)=x^2$ parallela a $y=4x$: $2x=4$, $x=2$, punto $(2,4)$.
Lo alleni nel n. 9, 16 c
3 · Tangente che passa per un punto $P$ dato (di solito fuori dal grafico)
Lo riconosci da: «passante per $P$», «condotte da $P$»
Cosa imposti: prendi il punto generico $(t,f(t))$, scrivi la tangente $y=f(t)+f'(t)(x-t)$ e imponi che passi per $P$: viene un'equazione in $t$. Anche se $P$ sta sul grafico, «passante per» vuole questo metodo: possono uscire altre tangenti
Esempio: $f(x)=x^2$, $P(0,-1)$: $-1=t^2+2t(0-t)$, cioè $t^2=1$: due tangenti, $y=2x-1$ e $y=-2x-1$.
Lo alleni nel n. 11 b, 17 c
4 · Due curve tangenti tra loro
Lo riconosci da: «le curve sono tangenti», «la curva $g$ è tangente a $f$»
Cosa imposti: nel punto di contatto $x_0$: stesso valore e stessa derivata, $f(x_0)=g(x_0)$ e $f'(x_0)=g'(x_0)$
Esempio: $y=x^2$ e $y=2x+k$: $2x=2$ dà $x_0=1$; poi $1=2+k$, $k=-1$.
Lo alleni nel n. 10, 17 f
5 · Tangente comune a due curve
Lo riconosci da: «retta tangente comune», «tangente a tutte e due le curve»
Cosa imposti: la retta tocca $f$ in $t$ e $g$ in $s$ (punti diversi). Scrivi le due tangenti come $y=mx+q$ e imponi stessa $m$ e stessa $q$
Esempio: $y=x^2$ in $t$: $y=2tx-t^2$; $y=-x^2-2$ in $s$: $y=-2sx+s^2-2$. Allora $2t=-2s$ e $-t^2=s^2-2$: $t=\pm1$, tangenti $y=2x-1$ e $y=-2x-1$.
Lo alleni nel n. 12
6 · Angolo tra due curve, o tra le due tangenti di un punto angoloso
Lo riconosci da: «angolo formato dalle curve nel loro punto comune», «angolo tra le tangenti nel punto angoloso»
Cosa imposti: trovi le due pendenze $m_1$, $m_2$ e usi $\tan\theta=\left|\frac{m_1-m_2}{1+m_1m_2}\right|$. Se $m_1m_2=-1$ sono perpendicolari
Esempio: $m_1=2$, $m_2=0$: $\tan\theta=2$, $\theta\approx63{,}4°$.
Lo alleni nel n. 13, 17 e
7 · Trovare i coefficienti da condizioni
Lo riconosci da: «determina $a$, $b$, $c$ in modo che…»
Cosa imposti: ogni condizione è un'equazione: passa per $P$ → $f(x_P)=y_P$; tangente in $x_0$ parallela a $y=mx$ → $f'(x_0)=m$; tangente orizzontale → $f'(x_0)=0$; vertice della parabola dato → $y=a(x-x_V)^2+y_V$; derivata seconda data → confronti i coefficienti; asintoti come nel G. Servono tante equazioni quante lettere
Esempio: $f(x)=ax^2+bx$ passa per $(1,0)$ e $f'(1)=2$: $a+b=0$ e $2a+b=2$, quindi $a=2$, $b=-2$.
Lo alleni nel n. 11 a, 16 a
8 · Problemi con figure: triangoli, aree
Lo riconosci da: «il triangolo formato dalla tangente, dalla normale e dall'asse $x$…»
Cosa imposti: scrivi tangente e normale, trova dove tagliano gli assi (metti $y=0$ o $x=0$), poi area $=\frac{\text{base}\cdot\text{altezza}}2$, con il valore assoluto
Esempio: $f(x)=x^2$ in $(1,1)$: tangente $y=2x-1$ taglia l'asse $x$ in $\frac12$; normale $y=-\frac12x+\frac32$ lo taglia in $3$. Base $\frac52$, altezza $1$: area $\frac54$.
Lo alleni nel n. 14
9 · Tangente conoscendo solo la tangente di $f$: composta, prodotto, inversa
Lo riconosci da: «sapendo che la tangente a $f$ in $x_0$ è…», «la funzione inversa $g$»
Cosa imposti: dalla tangente di $f$ in $x_0$ leggi $f(x_0)$ (quanto vale la retta in $x_0$) e $f'(x_0)$ (la pendenza). Composta: $\left(f(g(x))\right)'=f'(g(x))\cdot g'(x)$; prodotto: $(fg)'=f'g+fg'$; inversa: nel punto $(f(x_0),x_0)$ la pendenza è $\frac1{f'(x_0)}$
Esempio: $f(2)=3$, $f'(2)=4$: la tangente all'inversa nel punto $(3,2)$ ha pendenza $\frac14$, cioè $y=2+\frac14(x-3)$.
Lo alleni nel n. 15
9Libro H p. 340 n. 572 · ●●○
Esistono punti del grafico di $$y=\ln\left(x^3-2x^2\right)$$ in cui la retta tangente è orizzontale?
Cosa ripassi:
- tipo 2: tangente orizzontale, cioè $f'(x)=0$
- dominio del logaritmo
- la soluzione deve stare nel dominio
Teoria per farlo
Tangente orizzontale vuol dire pendenza $0$: risolvi $f'(x)=0$.
Ma prima trova il dominio: $x^3-2x^2=x^2(x-2)\gt 0$ solo per $x\gt 2$.
Derivata del logaritmo: $(\ln g)'=\frac{g'}{g}$. Una soluzione fuori dal dominio non vale.
Ma prima trova il dominio: $x^3-2x^2=x^2(x-2)\gt 0$ solo per $x\gt 2$.
Derivata del logaritmo: $(\ln g)'=\frac{g'}{g}$. Una soluzione fuori dal dominio non vale.
Risultato
No. $f'(x)=0$ dà $x=\frac43$, che non sta nel dominio ($x\gt 2$).
10Libro H p. 338 n. 538 · ●●○ · dalla tua lista per casa
a) Trova l'equazione della parabola con l'asse verticale, il vertice in $V\left(\frac34,\frac98\right)$ e che passa per l'origine.
b) Trova $k$ in modo che la curva $y=ke^x$ sia tangente alla parabola.
b) Trova $k$ in modo che la curva $y=ke^x$ sia tangente alla parabola.
Cosa ripassi:
- parabola dal vertice: $y=a(x-x_V)^2+y_V$
- tipo 4: due curve tangenti
- sistema con l'esponenziale
Teoria per farlo
a) Parti da $y=a\left(x-\frac34\right)^2+\frac98$ e imponi il passaggio per $(0,0)$.
b) Chiama $p(x)$ la parabola trovata. Due curve sono tangenti in $x_0$ se lì hanno stesso valore e stessa derivata: $ke^{x_0}=p(x_0)$ e $ke^{x_0}=p'(x_0)$ (la derivata di $ke^x$ è ancora $ke^x$).
I primi membri sono uguali, quindi uguaglia i secondi: $p(x_0)=p'(x_0)$. Trovi $x_0$, poi $k$.
b) Chiama $p(x)$ la parabola trovata. Due curve sono tangenti in $x_0$ se lì hanno stesso valore e stessa derivata: $ke^{x_0}=p(x_0)$ e $ke^{x_0}=p'(x_0)$ (la derivata di $ke^x$ è ancora $ke^x$).
I primi membri sono uguali, quindi uguaglia i secondi: $p(x_0)=p'(x_0)$. Trovi $x_0$, poi $k$.
Risultato
a) $y=-2x^2+3x$. b) $k=\frac1{\sqrt e}$ (si toccano in $x=\frac12$) oppure $k=-\frac9{e^3}$ (si toccano in $x=3$).
11Libro H p. 352 n. 739 · ●●○
Considera $f(x)=ax^3+bx^2+c$.
a) Trova $a$, $b$, $c$ sapendo che $f(0)=0$ e che $f''(x)=\frac92x-4$.
b) Trova le rette che passano per il punto $P(4,0)$ e sono tangenti al grafico di $f$.
a) Trova $a$, $b$, $c$ sapendo che $f(0)=0$ e che $f''(x)=\frac92x-4$.
b) Trova le rette che passano per il punto $P(4,0)$ e sono tangenti al grafico di $f$.
Cosa ripassi:
- tipo 7: coefficienti dalle condizioni
- derivata seconda
- tipo 3: tangenti che passano per un punto
Teoria per farlo
a) $f''(x)=6ax+2b$: confrontala con $\frac92x-4$. E $f(0)=c$.
b) «Passanti per $P$»: prendi il punto generico $(t,f(t))$; la tangente lì è $y=f(t)+f'(t)(x-t)$.
Imponi che passi per $(4,0)$: $0=f(t)+f'(t)(4-t)$. Ogni soluzione $t$ dà una tangente.
Attento: anche $t=0$ è una soluzione. Raccogli $t$, non dividere per $t$.
b) «Passanti per $P$»: prendi il punto generico $(t,f(t))$; la tangente lì è $y=f(t)+f'(t)(x-t)$.
Imponi che passi per $(4,0)$: $0=f(t)+f'(t)(4-t)$. Ogni soluzione $t$ dà una tangente.
Attento: anche $t=0$ è una soluzione. Raccogli $t$, non dividere per $t$.
Risultato
a) $a=\frac34$, $b=-2$, $c=0$. b) Tre tangenti: $y=0$ (in $t=0$), $y=x-4$ (in $t=2$), $y=\frac{128}3(x-4)$ (in $t=\frac{16}3$).
12Libro H p. 337 n. 533 · ●●●
Trova l'equazione della retta tangente comune alle curve $y=\frac1x$ e $y=-2\sqrt x$.
Cosa ripassi:
- tipo 5: tangente comune
- tangente in un punto generico
- sistema in due incognite
Teoria per farlo
La retta tocca la prima curva in $t$ e la seconda in $s$ (due punti diversi). Scrivi le due tangenti come $y=mx+q$:
per $\frac1x$ in $t$: $y=-\frac1{t^2}x+\frac2t$; per $-2\sqrt x$ in $s$: $y=-\frac1{\sqrt s}x-\sqrt s$.
Sono la stessa retta se hanno la stessa $m$ e la stessa $q$: due equazioni in $t$ e $s$.
per $\frac1x$ in $t$: $y=-\frac1{t^2}x+\frac2t$; per $-2\sqrt x$ in $s$: $y=-\frac1{\sqrt s}x-\sqrt s$.
Sono la stessa retta se hanno la stessa $m$ e la stessa $q$: due equazioni in $t$ e $s$.
Risultato
$y=-\frac{\sqrt[3]2}{2}x-\sqrt[3]4$ (tocca $y=\frac1x$ in $x=-\sqrt[3]2$).
13Libro H p. 341 n. 583 · ●●○
Data la funzione $y=\left|x^3-2x^2\right|$:
a) verifica che è derivabile in $x=0$ e che in $x=2$ ha un punto angoloso;
b) scrivi le due rette tangenti (da sinistra e da destra) nel punto angoloso;
c) trova l'angolo acuto che formano.
a) verifica che è derivabile in $x=0$ e che in $x=2$ ha un punto angoloso;
b) scrivi le due rette tangenti (da sinistra e da destra) nel punto angoloso;
c) trova l'angolo acuto che formano.
Cosa ripassi:
- modulo con uno zero doppio e uno semplice
- tangente da sinistra e da destra
- tipo 6: angolo tra due rette
Teoria per farlo
$x^3-2x^2=x^2(x-2)$: in $0$ lo zero è doppio (non cambia segno), in $2$ è semplice (cambia segno).
Chiama $g(x)=x^3-2x^2$, con $g'(x)=3x^2-4x$. Vicino a $2$: a sinistra $g\lt 0$, quindi $|g|=-g$ e la pendenza è $-g'(2)$; a destra $g\gt 0$, quindi $|g|=g$ e la pendenza è $g'(2)$.
Le due tangenti passano per $(2,f(2))$.
Angolo tra due rette: $\tan\theta=\left|\frac{m_1-m_2}{1+m_1m_2}\right|$.
Chiama $g(x)=x^3-2x^2$, con $g'(x)=3x^2-4x$. Vicino a $2$: a sinistra $g\lt 0$, quindi $|g|=-g$ e la pendenza è $-g'(2)$; a destra $g\gt 0$, quindi $|g|=g$ e la pendenza è $g'(2)$.
Le due tangenti passano per $(2,f(2))$.
Angolo tra due rette: $\tan\theta=\left|\frac{m_1-m_2}{1+m_1m_2}\right|$.
Risultato
a) In $0$ la derivata vale $0$ da tutti e due i lati; in $2$ vale $-4$ e $4$. b) $y=8-4x$ (sinistra) e $y=4x-8$ (destra). c) $\tan\theta=\frac8{15}$, $\theta\approx28°$.
14Libro H p. 340 n. 570 · ●●○ · dalla tua lista per casa
Data la funzione $y=e^{kx}$ con $k\ne0$, trova $k$ in modo che il triangolo formato dalla retta tangente e dalla retta normale nel punto del grafico che sta sull'asse $y$, e dall'asse $x$, abbia area $\frac54$.
Cosa ripassi:
- tipo 8: problemi con figure
- retta normale: pendenza $-\frac1m$
- area del triangolo con il valore assoluto
Teoria per farlo
Il punto sull'asse $y$ è $(0,1)$, e lì la pendenza è $f'(0)=k$. Tangente: $y=kx+1$. Normale: $y=-\frac1kx+1$.
Trova dove tagliano l'asse $x$ (metti $y=0$): sono due vertici del triangolo; il terzo è $(0,1)$.
Area $=\frac{\text{base}\cdot\text{altezza}}2$: la base è la distanza tra i due punti sull'asse $x$, l'altezza è $1$. Usa il valore assoluto.
Trova dove tagliano l'asse $x$ (metti $y=0$): sono due vertici del triangolo; il terzo è $(0,1)$.
Area $=\frac{\text{base}\cdot\text{altezza}}2$: la base è la distanza tra i due punti sull'asse $x$, l'altezza è $1$. Usa il valore assoluto.
Risultato
$k=\pm2$ oppure $k=\pm\frac12$.
15Libro H p. 351 n. 729 · ●●○
Data la funzione $f(x)=2x^3+\ln x$:
a) spiega perché è invertibile;
b) detta $g$ la sua funzione inversa, scrivi l'equazione della retta tangente al grafico di $g$ nel suo punto di ascissa $x=2$.
a) spiega perché è invertibile;
b) detta $g$ la sua funzione inversa, scrivi l'equazione della retta tangente al grafico di $g$ nel suo punto di ascissa $x=2$.
Cosa ripassi:
- sempre crescente vuol dire invertibile
- tipo 9: tangente alla funzione inversa
- trovare $x$ con $f(x)=2$ provando numeri semplici
Teoria per farlo
a) Se $f'(x)\gt 0$ in tutto il dominio, $f$ è sempre crescente: ogni valore lo prende una volta sola, quindi è invertibile.
b) Il grafico di $g$ è il simmetrico di quello di $f$ rispetto alla retta $y=x$: il punto di $g$ con ascissa $2$ corrisponde al punto di $f$ con ordinata $2$.
Trova $x_0$ con $f(x_0)=2$ (prova $x_0=1$). La pendenza della tangente all'inversa è $\frac1{f'(x_0)}$.
b) Il grafico di $g$ è il simmetrico di quello di $f$ rispetto alla retta $y=x$: il punto di $g$ con ascissa $2$ corrisponde al punto di $f$ con ordinata $2$.
Trova $x_0$ con $f(x_0)=2$ (prova $x_0=1$). La pendenza della tangente all'inversa è $\frac1{f'(x_0)}$.
Risultato
a) $f'(x)=6x^2+\frac1x\gt 0$ per ogni $x\gt 0$: sempre crescente. b) $g(2)=1$, $g'(2)=\frac17$: $y=\frac17x+\frac57$.
16Libro H p. 353 n. 740, punti a)–d) · ●●○
Considera $$f(x)=\frac{ax^2+bx+c}{x+d}$$
a) Trova $a$, $b$, $c$, $d$ in modo che abbia come asintoto verticale la retta $x=1$, come asintoto obliquo la retta $y=x-2$, e che la tangente nel punto di ascissa $x=2$ sia parallela alla retta $y=7x$.
b) Traccia il grafico probabile della funzione trovata.
c) Ci sono punti del grafico con la tangente orizzontale?
d) Detti $P$ e $Q$ i punti in cui il grafico taglia il semiasse delle $x$ negative e quello delle $x$ positive, scrivi le tangenti in $P$ e in $Q$.
(Il libro continua con altri punti: qui ci fermiamo al d.)
b) Traccia il grafico probabile della funzione trovata.
c) Ci sono punti del grafico con la tangente orizzontale?
d) Detti $P$ e $Q$ i punti in cui il grafico taglia il semiasse delle $x$ negative e quello delle $x$ positive, scrivi le tangenti in $P$ e in $Q$.
(Il libro continua con altri punti: qui ci fermiamo al d.)
Cosa ripassi:
- tipo 7 con gli asintoti del G
- derivata di un quoziente
- tipo 2: tangente orizzontale e $\Delta\lt 0$
- tipo 1: tangente in un punto
Teoria per farlo
a) Ogni condizione è un'equazione. Asintoto $x=1$ → il denominatore si annulla in $1$, quindi $d=-1$. Obliquo $y=x-2$ → $m=\lim\frac{f(x)}x=a$, quindi $a=1$; poi $f(x)-x=\frac{(b+1)x+c}{x-1}\to b+1$, quindi $b+1=-2$.
Infine calcola $f'(x)$ con $a$, $b$, $d$ già trovati e imponi $f'(2)=7$: trovi $c$. Derivata del quoziente: $\left(\frac ND\right)'=\frac{N'D-ND'}{D^2}$.
b) Come nel G: dominio, zeri, segno, limiti, asintoti; il segno di $f'$ ti dice se cresce o decresce.
c) Tangente orizzontale → $f'(x)=0$: basta guardare il numeratore della derivata.
d) Tangente: $y=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)$.
Infine calcola $f'(x)$ con $a$, $b$, $d$ già trovati e imponi $f'(2)=7$: trovi $c$. Derivata del quoziente: $\left(\frac ND\right)'=\frac{N'D-ND'}{D^2}$.
b) Come nel G: dominio, zeri, segno, limiti, asintoti; il segno di $f'$ ti dice se cresce o decresce.
c) Tangente orizzontale → $f'(x)=0$: basta guardare il numeratore della derivata.
d) Tangente: $y=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)$.
Risultato
a) $a=1$, $b=-3$, $c=-4$, $d=-1$: $f(x)=\frac{x^2-3x-4}{x-1}$.
b) Zeri $x=-1$ e $x=4$; positiva per $-1\lt x\lt 1$ e per $x\gt 4$; asintoto verticale $x=1$ (da sinistra $+\infty$, da destra $-\infty$) e obliquo $y=x-2$; sempre crescente.
c) No: il numeratore della derivata è $x^2-2x+7$, che ha $\Delta\lt 0$.
d) $P(-1,0)$: $y=\frac52(x+1)$. $Q(4,0)$: $y=\frac53(x-4)$.
17Libro H p. 354 n. 745 · ●●○
Considera la funzione $f(x)=2\ln x$.
a) Traccia il grafico di $f$.
b) Scrivi la retta tangente nel punto in cui il grafico taglia l'asse $x$.
c) Scrivi la retta tangente al grafico che passa per l'origine.
d) Traccia il grafico di $y=|f(x)|$ e studiane la derivabilità.
e) Scrivi le rette tangenti nel punto angoloso e trova in gradi, primi e secondi l'angolo che formano.
f) Data $g(x)=kx^3$, trova $k$ in modo che il grafico di $g$ sia tangente a quello di $f$.
a) Traccia il grafico di $f$.
b) Scrivi la retta tangente nel punto in cui il grafico taglia l'asse $x$.
c) Scrivi la retta tangente al grafico che passa per l'origine.
d) Traccia il grafico di $y=|f(x)|$ e studiane la derivabilità.
e) Scrivi le rette tangenti nel punto angoloso e trova in gradi, primi e secondi l'angolo che formano.
f) Data $g(x)=kx^3$, trova $k$ in modo che il grafico di $g$ sia tangente a quello di $f$.
Cosa ripassi:
- tipi 1, 3, 4 e 6 nello stesso esercizio
- grafico di $|f(x)|$: la parte sotto l'asse $x$ si ribalta sopra
- gradi, primi e secondi
Teoria per farlo
b) Tipo 1: il punto è $(1,0)$ e $f'(1)=2$.
c) Tipo 3: punto generico $(t,2\ln t)$, tangente $y=2\ln t+\frac2t(x-t)$; imponi il passaggio per $(0,0)$.
d)–e) $|2\ln x|$ ribalta la parte con $x\lt 1$: in $x=1$ le pendenze diventano $-2$ e $2$. Angolo con $\tan\theta=\left|\frac{m_1-m_2}{1+m_1m_2}\right|$, poi la calcolatrice in gradi. Per primi e secondi: moltiplica per $60$ la parte dopo la virgola dei gradi (sono i primi), poi per $60$ la parte dopo la virgola dei primi (sono i secondi).
f) Tipo 4: $kx^3=2\ln x$ e $3kx^2=\frac2x$.
c) Tipo 3: punto generico $(t,2\ln t)$, tangente $y=2\ln t+\frac2t(x-t)$; imponi il passaggio per $(0,0)$.
d)–e) $|2\ln x|$ ribalta la parte con $x\lt 1$: in $x=1$ le pendenze diventano $-2$ e $2$. Angolo con $\tan\theta=\left|\frac{m_1-m_2}{1+m_1m_2}\right|$, poi la calcolatrice in gradi. Per primi e secondi: moltiplica per $60$ la parte dopo la virgola dei gradi (sono i primi), poi per $60$ la parte dopo la virgola dei primi (sono i secondi).
f) Tipo 4: $kx^3=2\ln x$ e $3kx^2=\frac2x$.
Risultato
b) $y=2x-2$. c) $y=\frac2ex$ (tocca in $x=e$). d) Non derivabile in $x=1$: punto angoloso. e) $y=2x-2$ e $y=-2x+2$; angolo $\approx53°\,7'\,48''$. f) $k=\frac2{3e}$.
4 · Velocità correlate
Problemi come la scala e il cono: un legame tra grandezze, poi la derivata rispetto al tempo.
La classificazione
Due grandezze cambiano nel tempo e sono legate tra loro: conosci la velocità di una, cerchi quella dell'altra. Il metodo è sempre lo stesso:
- Dai un nome a ogni grandezza che cambia: $x(t)$, $y(t)$, $h(t)$…
- Scrivi il legame tra le grandezze, quello che vale in ogni istante:
Situazione Legame scala che scivola, due auto su strade perpendicolari Pitagora: $x^2+y^2=z^2$ pallone che si gonfia $V=\frac43\pi r^3$ cono che si riempie $V=\frac13\pi r^2h$, e con la similitudine $\frac rh=\frac RH$ togli la $r$ punto che si muove su una curva $y=f(x)$ - Derivi tutto rispetto al tempo, con la regola della catena: $\left(x^2\right)'=2x\,x'$, $\left(h^3\right)'=3h^2\,h'$.
- Solo adesso metti i numeri di quell'istante e trovi la velocità cercata. Se viene negativa, quella grandezza sta diminuendo.
Esempio: il lato $l$ di un quadrato cresce di $2$ cm/s. Area $A=l^2$, quindi $A'=2l\,l'$. Quando $l=5$: $A'=2\cdot5\cdot2=20$ cm²/s.
18Libro H p. 345 n. 618 · ●●○ · dalla tua lista per casa
Una scala lunga $2{,}5$ m è appoggiata a un muro verticale. La base scivola via dal muro alla velocità di $2{,}0$ m/s. Con che velocità scende la cima della scala nell'istante in cui la base è a $1{,}5$ m dal muro?
Cosa ripassi:
- Pitagora
- derivare rispetto al tempo (regola della catena)
- i numeri si mettono solo alla fine
Teoria per farlo
Chiama $x(t)$ la distanza della base dal muro e $y(t)$ l'altezza della cima. In ogni istante $x^2+y^2=2{,}5^2$.
Deriva tutto rispetto al tempo: $2x\,x'+2y\,y'=0$.
Adesso metti i numeri di quell'istante: $x=1{,}5$, $y=\sqrt{2{,}5^2-1{,}5^2}=2$, $x'=2{,}0$. Trovi $y'$.
Deriva tutto rispetto al tempo: $2x\,x'+2y\,y'=0$.
Adesso metti i numeri di quell'istante: $x=1{,}5$, $y=\sqrt{2{,}5^2-1{,}5^2}=2$, $x'=2{,}0$. Trovi $y'$.
Risultato
$y'=-1{,}5$ m/s: la cima scende a $1{,}5$ m/s.
19Libro H p. 345 n. 619 · ●●○ · dalla tua lista per casa
Un serbatoio ha la forma di un cono con la punta in basso: il raggio della base è $1{,}0$ m e l'altezza $2{,}0$ m. Si riempie d'acqua con una portata di $0{,}50$ m³/min. Con che velocità sale il livello dell'acqua quando l'acqua è alta $1{,}0$ m?
Cosa ripassi:
- volume del cono $V=\frac13\pi r^2h$
- similitudine: $\frac rh=\frac RH$
- derivare rispetto al tempo
Teoria per farlo
L'acqua forma un cono più piccolo, simile a quello grande: $\frac rh=\frac{1{,}0}{2{,}0}$, quindi $r=\frac h2$.
Scrivi il volume con la sola $h$: $V=\frac13\pi\left(\frac h2\right)^2h=\frac\pi{12}h^3$.
Deriva rispetto al tempo: $V'=\frac\pi4h^2\,h'$. La portata è $V'=0{,}50$: metti $h=1{,}0$ e trovi $h'$.
Scrivi il volume con la sola $h$: $V=\frac13\pi\left(\frac h2\right)^2h=\frac\pi{12}h^3$.
Deriva rispetto al tempo: $V'=\frac\pi4h^2\,h'$. La portata è $V'=0{,}50$: metti $h=1{,}0$ e trovi $h'$.
Risultato
$h'=\frac2\pi\approx0{,}64$ m/min.
20Libro H p. 346 n. 620 · ●●○
Due auto percorrono due strade perpendicolari e vanno tutte e due verso l'incrocio. L'auto A va a $80{,}0$ km/h, l'auto B a $100$ km/h. Con che velocità si stanno avvicinando nell'istante in cui A è a $10{,}0$ km dall'incrocio e B a $20{,}0$ km?
Cosa ripassi:
- Pitagora con due grandezze che cambiano
- segno: una distanza che diminuisce ha velocità negativa
Teoria per farlo
Distanze dall'incrocio: $x(t)$ per A e $y(t)$ per B. Distanza tra le auto: $z$, con $z^2=x^2+y^2$.
Deriva: $2z\,z'=2x\,x'+2y\,y'$. Le distanze diminuiscono, quindi $x'=-80$ e $y'=-100$.
Metti $x=10$, $y=20$, $z=\sqrt{500}$.
Deriva: $2z\,z'=2x\,x'+2y\,y'$. Le distanze diminuiscono, quindi $x'=-80$ e $y'=-100$.
Metti $x=10$, $y=20$, $z=\sqrt{500}$.
Risultato
$z'\approx-125$ km/h: si avvicinano a circa $125$ km/h.
21Libro H p. 346 n. 621 · ●●○
Un punto si muove sulla curva $y=\sqrt{5+x^2}$. Quando passa per il punto $(2,3)$, la sua ordinata cresce alla velocità di $2$ cm/s. In quell'istante, con che velocità cresce l'ascissa?
Cosa ripassi:
- punto su una curva: $y(t)=f(x(t))$
- regola della catena
Teoria per farlo
Sia $x$ sia $y$ cambiano nel tempo, legate da $y=\sqrt{5+x^2}$.
Deriva rispetto al tempo: $y'=\frac{x}{\sqrt{5+x^2}}\,x'$.
Metti $x=2$ e $y'=2$, e trovi $x'$.
Deriva rispetto al tempo: $y'=\frac{x}{\sqrt{5+x^2}}\,x'$.
Metti $x=2$ e $y'=2$, e trovi $x'$.
Risultato
$x'=3$ cm/s.
5 · Il differenziale
Il prof l'ha messo nella lista «per il compito» (628 e 633), anche se il documento non lo nomina.
La classificazione
Differenziale: $dy=f'(x)\,dx$, cioè la derivata per l'incremento.
Approssimare un numero: $f(x_0+\Delta x)\approx f(x_0)+f'(x_0)\,\Delta x$. Scegli un $x_0$ «comodo», vicino al numero, dove $f$ la sai calcolare a mente.
Esempio: $\sqrt{26}$, con $f(x)=\sqrt x$, $x_0=25$, $\Delta x=1$: $\sqrt{26}\approx5+\frac1{2\cdot5}\cdot1=5{,}1$.
22Libro H p. 347 n. 628 · ●○○ · dalla tua lista per casa
Scrivi il differenziale della funzione $y=\left(x^2+x\right)^3$, nel punto $x$ e con incremento $dx$.
Cosa ripassi:
- differenziale: $dy=f'(x)\,dx$
- derivata di una funzione composta
Teoria per farlo
Il differenziale è la derivata moltiplicata per l'incremento: $dy=f'(x)\,dx$.
Qui c'è la potenza di una funzione: $\left(g^3\right)'=3g^2\,g'$.
Qui c'è la potenza di una funzione: $\left(g^3\right)'=3g^2\,g'$.
Risultato
$dy=3\left(x^2+x\right)^2(2x+1)\,dx$.
23Libro H p. 347 n. 633 · ●○○ · dalla tua lista per casa
Trova un valore approssimato di $\sqrt{47}$ senza calcolatrice, usando il differenziale.
Cosa ripassi:
- $f(x_0+\Delta x)\approx f(x_0)+f'(x_0)\,\Delta x$
- scegliere un $x_0$ comodo: un quadrato perfetto
Teoria per farlo
Usa $f(x)=\sqrt x$, che ha $f'(x)=\frac1{2\sqrt x}$.
Il quadrato perfetto più vicino è $49$: quindi $x_0=49$ e $\Delta x=-2$.
Allora $\sqrt{47}\approx\sqrt{49}+\frac1{2\sqrt{49}}\cdot(-2)$.
Il quadrato perfetto più vicino è $49$: quindi $x_0=49$ e $\Delta x=-2$.
Allora $\sqrt{47}\approx\sqrt{49}+\frac1{2\sqrt{49}}\cdot(-2)$.
Risultato
$\sqrt{47}\approx\frac{48}7\approx6{,}857$ (il valore vero è $6{,}856\ldots$).