Tangenti: $x$ o $x_0$?
Quando metti $x$ e quando $x_0$ negli esercizi sulle rette tangenti.
L'idea in una frase
Nella retta tangente ci sono due tipi di lettere, che fanno due lavori diversi.
| Lettera | Cos'è | Alla fine dell'esercizio |
|---|---|---|
| $x$, $y$ | un punto qualsiasi della retta: scorre lungo la retta | restano lettere: la risposta è $y=\dots x\dots$ |
| $x_0$ (o $t$, o $a$) | il punto dove la retta tocca la curva: è fermo | diventa un numero |
Pensa a $x_0$ come a uno spillo piantato nel punto di contatto, e a $x$ come a un cursore che scorre sulla retta. La formula
$$y-f(x_0)=f'(x_0)\,(x-x_0)$$dice: «la retta passa per lo spillo e ha la pendenza che la curva ha nello spillo». Quindi tutto quello che ha lo $0$ è un numero. Alla fine nella retta restano solo $x$ e $y$.
E $f'(x)$ allora?
- $f'(x)$ è la «macchina» che ti dà la pendenza della curva in ogni punto. È una funzione, quindi ha la $x$ dentro.
- $f'(x_0)$ è quello che esce dalla macchina se ci metti dentro lo spillo. È un numero, ed è la pendenza della tangente.
Prima derivi con la $x$, poi ci metti $x_0$. Nella retta va il numero $f'(x_0)$, mai la funzione $f'(x)$.
La domanda da farti ogni volta
«Questo punto è dove la retta TOCCA la curva, o solo un punto da cui la retta PASSA?»
- Tocca («tangente nel punto…») → è lo spillo: va al posto di $x_0$.
- Passa («tangente passante per $P$», «condotta da $P$») → non è lo spillo. Le coordinate di $P$ vanno al posto di $x$ e $y$, perché $P$ è un punto della retta come tutti gli altri. Lo spillo invece è ignoto: gli dai un nome ($t$) e lo trovi.
Esempio 1: lo spillo lo conosci
Tangente a $y=x^2-3x$ nel punto di ascissa $1$.
- Spillo: $x_0=1$.
- $y_0=f(1)=1-3=-2$.
- Macchina: $f'(x)=2x-3$. Ci metti lo spillo: $m=f'(1)=-1$.
- Formula: $y-(-2)=-1\cdot(x-1)$, quindi $y=-x-1$.
Nella risposta restano $x$ e $y$. Tutto il resto sono numeri.
Esempio 2: lo spillo NON lo conosci
Tangenti a $y=x^2-2x$ passanti per $P(2;-1)$. $P$ non sta sulla curva ($f(2)=0$, non $-1$), quindi non è lo spillo.
- Lo spillo è ignoto: lo chiami $t$. Il punto di contatto è $(t;\ t^2-2t)$ e la pendenza è $f'(t)=2t-2$.
- Tangente con lo spillo ancora in lettera: $y-(t^2-2t)=(2t-2)(x-t)$.
- $P$ sta sulla retta: metti $x=2$ e $y=-1$ (al posto di $x$ e $y$, non di $t$!). Viene $-1-(t^2-2t)=(2t-2)(2-t)$, cioè $t^2-4t+3=0$, quindi $t=1$ oppure $t=3$.
- Ora gli spilli li conosci: rifai l'Esempio 1 due volte. Con $t=1$ viene $y=-1$, con $t=3$ viene $y=4x-9$.
Perché $t$ e non $x$? Perché la $x$ è già occupata dal cursore della retta. Se chiami $x$ anche lo spillo, ti viene $y-f(x)=f'(x)(x-x)$, cioè zero, e non capisci più niente. Il libro a volte lo chiama $x_0$ o $a$: va bene, basta che non sia $x$.
Gli altri casi sono lo stesso giochino
- Parallela a $y=9x+1$: lo spillo è ignoto, ma conosci la pendenza. Scrivi $f'(x_0)=9$ e trovi $x_0$. Poi è l'Esempio 1.
- Curve tangenti: lo spillo è ignoto e c'è anche un parametro. Due equazioni: $f(x_0)=g(x_0)$ (stesso punto) e $f'(x_0)=g'(x_0)$ (stessa pendenza).
In tutti i casi prima trovi lo spillo, poi fai l'Esempio 1.
Prova
1. «Tangente a $y=x^3$ nel punto $(2;8)$»: chi è $x_0$? Quali lettere restano alla fine nella retta?
Risposta
Il punto è quello di contatto, quindi $x_0=2$ (e $y_0=8$). $f'(x)=3x^2$, $m=f'(2)=12$. Retta: $y-8=12(x-2)$, cioè $y=12x-16$. Restano solo $x$ e $y$.
2. «Tangenti a $y=x^2$ passanti per $(0;-4)$»: le coordinate $0$ e $-4$ vanno al posto di $x_0$ oppure di $x$ e $y$?
Risposta
Al posto di $x$ e $y$: il punto $(0;-4)$ non sta sulla curva, quindi non è lo spillo. Spillo $t$: $y-t^2=2t(x-t)$. Metti $x=0$, $y=-4$: $-4-t^2=-2t^2$, quindi $t^2=4$ e $t=\pm2$. Tangenti: $y=4x-4$ e $y=-4x-4$.